Что такое синус острого угла прямоугольного треугольника. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла

В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .

ЕГЭ на 4? А не лопнешь от счастья?

Вопрос, как говорится, интересный... Можно, можно сдать на 4! И при этом не лопнуть... Главное условие - заниматься регулярно. Здесь - основная подготовка к ЕГЭ по математике. Со всеми секретами и тайнами ЕГЭ, о которых Вы не прочитаете в учебниках... Изучайте этот раздел, решайте больше заданий из различных источников - и всё получится! Предполагается, что базовый раздел "С тебя и тройки хватит!" у вас затруднений не вызывает. Но если вдруг... По ссылочкам-то ходите, не ленитесь!

И начнём мы с великой и ужасной темы.

Тригонометрия

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Эта тема доставляет массу проблем ученикам. Считается одной из самых суровых. Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс? Что такое числовая окружность? Стоит задать эти безобидные вопросы, как человек бледнеет и пытается увести разговор в сторону… А зря. Это простые понятия. И ничем эта тема не сложнее других. Просто нужно с самого начала чётко уяснить ответы на эти самые вопросы. Это очень важно. Если уяснили – тригонометрия вам понравится. Итак,

Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?

Начнём с глубокой древности. Не волнуйтесь, все 20 веков тригонометрии мы пройдём минут за 15. И, незаметно для себя, повторим кусочек геометрии из 8 класса.

Нарисуем прямоугольный треугольник со сторонами а, в, с и углом х . Вот такой.

Напомню, что стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. а и в – катеты. Их два. Оставшаяся сторона называется гипотенузой. с – гипотенуза.

Треугольник и треугольник, подумаешь! Что с ним делать? А вот древние люди знали, что делать! Повторим их действия. Измерим сторону в . На рисунке специально клеточки нарисованы, как в заданиях ЕГЭ бывает. Сторона в равна четырём клеточкам. Ладно. Измерим сторону а. Три клеточки.

А теперь поделим длину стороны а на длину стороны в . Или, как ещё говорят, возьмём отношение а к в . а/в = 3/4.

Можно наоборот, поделить в на а. Получим 4/3. Можно в поделить на с. Гипотенузу с по клеточкам не посчитать, но она равна 5. Получим в/с = 4/5. Короче, можно делить длины сторон друг на друга и получать какие-то числа.

Ну и что? Какой смысл в этом интересном занятии? Пока никакого. Бестолковое занятие, прямо скажем.)

А теперь сделаем вот что. Увеличим треугольник. Продлим стороны в и с , но так, чтобы треугольник остался прямоугольным. Угол х , естественно, не меняется. Чтобы это увидеть, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь её (если у вас - планшет). Стороны а, в и с превратятся в m, n, k , и, понятное дело, длины сторон изменятся.

А вот их отношения – нет!

Отношение а/в было: а/в = 3/4, стало m/n = 6/8 = 3/4. Отношения других соответствующих сторон также не изменятся . Можно как угодно менять длины сторон в прямоугольном треугольнике, увеличивать, уменьшать, не меняя угла х – отношения соответствующих сторон не изменятся . Можно проверить, а можно поверить древним людям на слово.

А вот это уже очень важно! Отношения сторон в прямоугольном треугольнике никак не зависят от длин сторон (при одном и том же угле). Это настолько важно, что отношения сторон заслужили свои специальные названия. Свои имена, так сказать.) Знакомьтесь.

Что такое синус угла х ? Это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sinx = а/с

Что такое косинус угла х ? Это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

с osx = в/с

Что такое тангенс угла х ? Это отношение противолежащего катета к прилежащему:

tgx = а/в

Что такое котангенс угла х ? Это отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgx = в/а

Всё очень просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс – это некоторые числа. Безразмерные. Просто числа. Для каждого угла – свои.

Зачем я так занудно всё повторяю? Затем, что это надо запомнить . Железно запомнить. Запоминание можно облегчить. Фраза «Начнём издалека…» знакома? Вот и начинайте издалека.

Синус угла – это отношение дальнего от угла катета к гипотенузе. Косинус – отношение ближнего к гипотенузе.

Тангенс угла – это отношение дальнего от угла катета к ближнему. Котангенс – наоборот.

Уже проще, правда?

Ну а если запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется, то всё станет совсем просто.

Всю эту славную семейку – синус, косинус, тангенс и котангенс называют ещё тригонометрическими функциями .

А теперь вопрос на соображение.

Почему мы говорим синус, косинус, тангенс и котангенс угла? Речь-то идёт об отношениях сторон, вроде... При чём здесь угол?

Смотрим на вторую картинку. Точно такую же, как и первая.

Наведите мышку на картинку. Я изменил угол х . Увеличил его с х до Х. Все отношения поменялись! Отношение а/в было 3/4, а соответствующее отношение t/в стало 6/4.

И все остальные отношения стали другими!

Стало быть, отношения сторон никак не зависят от их длин (при одном угле х), но резко зависят от этого самого угла! И только от него. Поэтому термины синус, косинус, тангенс и котангенс относятся к углу. Угол здесь - главный.

Надо железно уяснить, что угол неразрывно связан со своими тригонометрическими функциями. У каждого угла есть свой синус и косинус. И почти у каждого - свой тангенс и котангенс. Это важно. Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны ! И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция – значит, мы знаем угол.

Существуют специальные таблицы, где для каждого угла расписаны его тригонометрические функции. Таблицы Брадиса называются. Они очень давно составлены. Когда ещё не было ни калькуляторов, ни компьютеров...

Конечно, тригонометрические функции всех углов запомнить нельзя. Вы обязаны знать их только для нескольких углов, об этом дальше будет. Но заклинание «знаю угол – значит, знаю его тригонометрические функции» - работает всегда!

Вот мы и повторили кусочек геометрии из 8-го класса. Оно нам надо для ЕГЭ? Надо. Вот вам типичная задачка из ЕГЭ. Для решения которой достаточно 8-го класса. Дана картинка:

Всё. Больше никаких данных нет. Надо найти длину катета ВС.

Клеточки слабо помогают, треугольник как-то неправильно расположен.... Специально, поди… Из информации есть длина гипотенузы. 8 клеток. Ещё зачем-то дан угол.

Вот здесь надо сразу вспоминать про тригонометрию. Есть угол, значит, мы знаем все его тригонометрические функции. Какую функцию из четырёх в дело пустить? А посмотрим-ка, что нам известно? Нам известны гипотенуза, угол, а найти надо прилежащий к этому углу катет! Ясно дело, косинус нужно в дело запускать! Вот и запускаем. Просто пишем, по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе):

cosC = ВС/8

Угол С у нас 60 градусов, его косинус равен 1/2. Это знать надо, безо всяких таблиц! Стало быть:

1/2 = ВС/8

Элементарное линейное уравнение. Неизвестное – ВС . Кто подзабыл, как решать уравнения , прогуляйтесь по ссылке, остальные решают:

ВС = 4

Когда древние люди поняли, что у каждого угла имеется свой комплект тригонометрических функций, у них возник резонный вопрос. А не связаны ли как-нибудь синус, косинус, тангенс и котангенс между собой? Так, чтобы зная одну функцию угла, можно было найти остальные? Не вычисляя сам угол?

Вот такие они были неугомонные...)

Связь между тригонометрическими функциями одного угла.

Конечно, синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. Вот они:

Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:

Сразу предупреждаю, что три последние формулы быстро выпадают из памяти. Почему-то.) Можно, конечно, вывести эти формулы из первых трёх. Но, в трудную минуту... Сами понимаете.)

В стандартных заданиях, типа тех, что приведены ниже, есть способ обойтись без этих незапоминающихся формул. И резко уменьшить ошибки по забывчивости, да и в вычислениях тоже. Этот практический приём - в Разделе 555, урок "Связь между тригонометрическими функциями одного угла."

В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание - найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует.) Например:

Найти значение sinx, если х - острый угол, а cosx=0,8.

Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ну и считаем, как обычно:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.

Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" здесь не зря стоит... Дело в том, что ответ sinx= - 0,6 тоже подходит... (-0,6) 2 тоже 0,36 будет.

Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй - неправильный. Как быть!? Да как обычно.) Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: ...если х - острый угол... А в заданиях каждое слово смысл имеет, да... Эта фраза - и есть дополнительная информация к решению.

Острый угол - это угол меньше 90°. А у таких углов все тригонометрические функции - и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом - положительные. Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.

Собственно, восьмиклассникам такие тонкости не нужны. Они работают только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знают, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000°... И у всех этих кошмарных углов есть свои тригонометрические функции и с плюсом, и с минусом...

А вот старшеклассникам без учёта знака - никак. Многие знания умножают печали, да...) И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация (если она необходима). Например, она может быть дана такой записью:

Или как-нибудь иначе. В примерах ниже увидите.) Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол х и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти.

Эти азы тригонометрии рассмотрены в уроках что такое тригонометрический круг, отсчёт углов на этом круге, радианная мера угла. Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.

Итак, отметим самое главное:

Практические советы:

1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.

2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.

3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.

А теперь порешаем, как водится. Сначала задания в объёме 8-го класса. Но и старшеклассникам тоже можно...)

1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.

2. β - угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.

3. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.

4. Найти значение выражения:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Найти значение выражения:

(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3

Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Получилось? Отлично! Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками.)

Не всё получилось? Задания 2 и 3 как-то не очень...? Не беда! Есть один красивый приём для подобных заданий. Всё решается, практически, вообще без формул! Ну и, следовательно, без ошибок. Этот приём в уроке: "Связь между тригонометрическими функциями одного угла" в Разделе 555 описан. Там же разобраны и все остальные задания.

Это были задачки типа ЕГЭ, но в урезанном варианте. ЕГЭ - лайт). А сейчас почти такие же задания, но в полноценном егэшном виде. Для обременённых знаниями старшеклассников.)

6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а

7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; - 450°).

8. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.

Ответы (в беспорядке):

0,8; 0,5; -2,4.

Здесь в задаче 6 угол задан как-то не очень однозначно... А в задаче 8 и вовсе не задан! Это специально). Дополнительная информация не только из задания берётся, но и из головы.) Зато уж если решили - одно верное задание гарантировано!

А если не решили? Гм... Ну, тут Раздел 555 поможет. Там решения всех этих заданий подробно расписаны, трудно не разобраться.

В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. А у старших остаются вопросы...

Например, если угол х (смотрите вторую картинку на этой странице) - сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы... Пропал синус...

Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций - ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились - в следующем уроке.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Учителя считают, что каждый школьник должен уметь проводить расчёты, знать тригонометрические формулы, но далеко не каждый преподаватель объясняет, что такое синус и косинус. Каков их смысл, где они используются? Почему мы говорим про треугольники, а в учебнике нарисована окружность? Попробуем связать все факты воедино.

Школьный предмет

Изучение тригонометрии начинается обычно в 7-8 классе средней школы. В это время учащимся объясняют, что такое синус и косинус, предлагают решать геометрические задачи с применением этих функций. Позже появляются более сложные формулы и выражения, которые требуется алгебраическим способом преобразовывать (формулы двойного и половинного угла, степенные функции), проводится работа с тригонометрической окружностью.

Однако учителя далеко не всегда могут доходчиво объяснить смысл используемых понятий и применимость формул. Поэтому ученик зачастую не видит смысла в данном предмете, а заученная информация быстро забывается. Однако стоит один раз объяснить старшекласснику, например, связь между функцией и колебательным движением, и логическая связь запомнится на многие годы, а шутки на тему бесполезности предмета уйдут в прошлое.

Использование

Заглянем ради любопытства в различные разделы физики. Хотите определить дальность полёта снаряда? Или высчитываете силу трения между объектом и некой поверхностью? Раскачиваете маятник, следите за лучами, проходящими сквозь стекло, высчитываете индукцию? Практически в любой формуле фигурируют тригонометрические понятия. Так что такое синус и косинус?

Определения

Синус угла представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус - прилежащего катета всё к той же гипотенузе. Здесь нет совершенно ничего сложного. Возможно, учеников обычно смущают значения, которые они видят в тригонометрической таблице, ведь там фигурируют квадратные корни. Да, получать из них десятичные дроби не очень удобно, но кто сказал, что все числа в математике должны быть ровными?

На самом деле в задачниках по тригонометрии можно найти забавную подсказку: большинство ответов здесь ровные и в худшем случае содержат корень из двух или из трёх. Вывод прост: если у вас в ответе получилась «многоэтажная» дробь, перепроверьте решение на предмет ошибок в расчётах или в рассуждениях. И вы их, скорее всего, найдете.

Что нужно запомнить

Как и в любой науке, в тригонометрии есть такие данные, которые необходимо выучить.

Во-первых, следует запомнить числовые значения для синусов, косинусов прямоугольного треугольника 0 и 90, а также 30, 45 и 60 градусов. Эти показатели встречаются в девяти из десяти школьных задач. Подглядывая эти значения в учебнике, вы потеряете много времени, а на контрольной или экзамене посмотреть и вовсе будет негде.

Нужно помнить, что значение обеих функций не может превышать единицу. Если где-либо в расчетах вы получите значение, выходящее за пределы диапазона 0-1, остановитесь и решите задачу заново.

Сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Если вы уже нашли одно из значений, воспользуйтесь этой формулой для нахождения оставшегося.

Теоремы

В базовой тригонометрии существует две основные теоремы: синусов и косинусов.

Первая гласит, что отношение каждой стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково. Вторая - что квадрат любой стороны можно получить, если сложить квадраты двух оставшихся сторон и вычесть удвоенное их произведение, умноженное на косинус лежащего между ними угла.

Таким образом, если в теорему косинусов подставить значение угла в 90 градусов, мы получим… теорему Пифагора. Теперь, если требуется высчитать площадь фигуры, не являющейся прямоугольным треугольником, можно больше не переживать - две рассмотренные теоремы существенно упростят решение задачи.

Цели и задачи

Изучение тригонометрии значительно упростится, когда вы осознаете один простой факт: все выполняемые вами действия направлены на достижения всего одной цели. Любые параметры треугольника могут быть найдены, если вы знаете о нём самый минимум информации - это может быть величина одного угла и длины двух сторон или, например, три стороны.

Для определения синуса, косинуса, тангенса любого угла этих данных достаточно, с их же помощью можно легко высчитать площадь фигуры. Практически всегда в качестве ответа требуется привести одно из упомянутых значений, а найти их можно по одним и тем же формулам.

Нестыковки при изучении тригонометрии

Одним из непонятных вопросов, которых школьники предпочитают избегать, является обнаружение связи между различными понятиями в тригонометрии. Казалось бы, для изучения синусов и косинусов углов используются треугольники, но обозначения почему-то часто встречаются на рисунке с окружностью. Кроме того, существует и вовсе непонятный волнообразный график под названием синусоида, не имеющий никакого внешнего сходства ни с окружностью, ни с треугольниками.

Более того, углы измеряются то в градусах, то в радианах, а число Пи, записывающееся просто как 3,14 (без единиц измерения), почему-то фигурирует в формулах, соответствуя 180 градусам. Как всё это связано между собой?

Единицы измерения

Почему число Пи равняется именно 3,14? Помните ли вы, что это за значение? Это количество радиусов, умещающихся в дуге на половине окружности. Если диаметр круга - 2 сантиметра, длина окружности составит 3,14*2, или 6,28.

Второй момент: возможно, вы замечали сходство слов «радиан» и «радиус». Дело в том, что один радиан численно равен величине угла, отложенного из центра окружности на дугу длиной в один радиус.

Теперь совместим полученные знания и поймем, почему сверху на оси координат в тригонометрии пишется «Пи пополам», а слева - «Пи». Это угловая величина, измеренная в радианах, ведь полукруг - это 180 градусов, или 3,14 радиана. А там, где есть градусы, есть синусы и косинусы. Треугольник же легко провести от нужной точки, отложив отрезки к центру и на ось координат.

Заглянем в будущее

Тригонометрия, изучаемая в школе, имеет дело с прямолинейной системой координат, где, как бы это странно ни звучало, прямая - это прямая.

Но есть и более сложные способы работы с пространством: сумма углов треугольника здесь будет больше 180 градусов, а прямая в нашем представлении будет выглядеть как самая настоящая дуга.

Перейдем от слов к делу! Возьмите яблоко. Сделайте ножом три надреза, чтобы при взгляде сверху получался треугольник. Выньте получившийся кусок яблока и посмотрите на «рёбра», где заканчивается кожура. Они вовсе не прямые. Фрукт в ваших руках условно можно назвать круглым, а теперь представьте, какими сложными должны быть формулы, с помощью которых можно найти площадь вырезанного куска. А ведь некоторые специалисты решают такие задачи ежедневно.

Тригонометрические функции в жизни

Обращали ли вы внимание, что самый короткий маршрут самолёта из точки А в точку Б на поверхности нашей планеты имеет ярко выраженную форму дуги? Причина проста: Земля имеет форму шара, а значит, с помощью треугольников многого не вычислишь - здесь приходится использовать более сложные формулы.

Не обойтись без синуса/косинуса острого угла в любых вопросах, связанных с космосом. Интересно, что здесь сходится целое множество факторов: тригонометрические функции требуются при расчётах движения планет по окружностям, эллипсам и различным траекториям более сложных форм; процесса запуска ракет, спутников, шаттлов, отстыковки исследовательских аппаратов; наблюдении за далёкими звёздами и изучении галактик, до которых человек в обозримом будущем добраться не сможет.

В целом поле для деятельности человека, владеющего тригонометрией, очень широко и, по-видимому, со временем будет только расширяться.

Заключение

Сегодня мы узнали или, во всяком случае, повторили, что такое синус и косинус. Это понятия, которых не нужно бояться - стоит захотеть, и вы поймете их смысл. Помните, что тригонометрия - это не цель, а лишь инструмент, который можно использовать для удовлетворения реальных человеческих потребностей: строить дома, обеспечивать безопасность движения, даже осваивать просторы вселенной.

Действительно, сама по себе наука может казаться скучной, но как только вы найдете в ней способ достижения собственных целей, самореализации, процесс обучения станет интересным, а ваша личная мотивация возрастёт.

В качестве домашнего задания попробуйте найти способы применить тригонометрические функции в той сфере деятельности, которая интересна лично вам. Пофантазируйте, включите воображение, и тогда наверняка окажется, что новые знания пригодятся вам в будущем. Да и кроме того, математика полезна для общего развития мышления.

Я думаю, вы заслуживаете больше, чем это. Вот мой ключ к тригонометрии:

• Нарисуйте купол, стену и потолок
• Тригонометрические функции - это не что иное, как процентное отношение этих трех форм.

Метафора для синуса и косинуса: купол

Вместо того, чтобы просто смотреть на сами треугольники, представьте их в действии, найдя какой-то частный пример из жизни.

Представьте, будто вы находитесь посередине купола и хотите подвесить экран для кинопроектора. Вы указываете пальцем на купол под неким углом “x”, и к этой точке должен быть подвешен экран.

Угол, на который вы указываете, определяет:

• синус(x) = sin(x) = высота экрана (от пола до точки крепления на куполе)
• косинус(x) = cos(x) = расстояние от вас до экрана (по полу)
• гипотенуза, расстояние от вас к верхушке экрана, всегда одинаковое, равно радиусу купола

Хотите, чтобы экран был максимально большой? Повесьте его прямо над собой.

Хотите, чтобы экран висел на максимально большом расстоянии от вас? Вешайте его прямо перпендикулярно. У экрана будет нулевая высота в этом положении, и он будет висеть наиболее отдаленно, как вы и просили.

Высота и расстояние от экрана обратно пропорциональны: чем ближе висит экран, тем его высота будет больше.

Синус и косинус - это проценты

Никто в годы моей учебы, увы, не объяснил мне, что тригонометрические функции синус и косинус - это не что иное, как проценты. Их значения варьируются от +100% до 0 и до -100%, или от положительного максимума до нуля и до отрицательного максимума.

Скажем, я заплатил налог 14 рублей. Вы не знаете, насколько это много. Но если сказать, что я заплатил 95% в качестве налога, вы поймете, что меня просто ободрали, как липку.

Абсолютная высота ни о чем не говорит. Но если значение синуса составляет 0.95, то я понимаю, что телевизор висит почти на верхушке вашего купола. Очень скоро он достигнет максимальной высоты по центру купола, а затем начнет снова снижаться.

Как мы можем вычислить этот процент? Очень просто: поделите текущее значение высоты экрана на максимально возможное (радиус купола, который также называют гипотенузой).

Вот почему нам говорят, что “косинус = противоположный катет / гипотенуза”. Это всё для того, чтобы получить процент! Лучше всего определить синус как “процент текущей высоты от максимально возможной”. (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает “под землю”. Косинус становится отрицательным, если угол указывает на точку купола позади вас).

Давайте упростим расчеты, предположив, что мы находимся в центре единичной окружности (радиус = 1). Мы можем пропустить деление и просто взять синус, равный высоте.

Каждая окружность, по сути, является единичной, увеличенной или уменьшенной в масштабе до нужного размера. Поэтому определите связи наединичной окружности и примените результаты к вашему конкретному размеру окружности.

Поэкспериментируйте: возьмите любой угол и посмотрите, какое процентное соотношение высоты к ширине он отображает:

График роста значения синуса - не просто прямая линия. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (с 80°до 90°) покрывают всего 2%.

Так вам станет понятнее: если идти по кругу, при 0° вы подымаетесь почти вертикально, но по мере подхода к верхушке купола, высота изменяется всё меньше и меньше.

Тангенс и секанс. Стена

Однажды сосед построил стену прямо впритык к вашему куполу. Плакали ваш вид из окна и хорошая цена для перепродажи!

Но можно ли как-то выиграть в этой ситуации?

Конечно, да. А что, если мы повесим киноэкран прямо на соседскую стену? Вы нацеливаетесь на угол (х) и получаете:

• тангенс(x) = tan(x) = высота экрана на стене
• расстояние от вас до стены: 1 (это радиус вашего купола, стена никуда не двигается от вас, верно?)
• секанс(x) = sec(x) = “длина лестницы” от вас, стоящего в центре купола, до верхушки подвешенного экрана

Давайте уточним пару моментов касательно тангенса, или высоты экрана.

• он начинается на 0, и может подниматься бесконечно высоко. Вы можете растягивать экран все выше и выше на стене, чтобы получить просто бесконечное полотно для просмотра любимого фильма! (На такой огромный, конечно, придется прилично потратиться).
• тангенс - это просто увеличенная версия синуса! И пока прирост синуса замедляется по мере продвижения к верхушке купола, тангенс продолжает расти!

Секансу тоже есть, чем похвастаться:

• cеканс начинается с 1 (лестница лежит на полу, от вас к стене) и начинает подниматься оттуда
• cеканс всегда длиннее тангенса. Наклоненная лестница, с помощью которой вы вешаете свой экран, должна быть длиннее, чем сам экран, верно? (При нереальных размерах, когда экран оооочень длинный, и лестницу нужно ставить практически вертикально, их размеры почти одинаковы. Но даже тогда секанс будет чуточку длиннее).

Помните, значения являются процентами . Если вы решили повесить экран под углом 50 градусов, tan(50)=1.19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние к стене (радиус купола).

(Введите x=0 и проверьте свою интуицию - tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

Котангенс и косеканс. Потолок

Невероятно, но ваш сосед теперь решил возвести перекрытие над вашим куполом. (Что с ним такое? Он, видимо, не хочет, чтобы вы за ним подглядывали, пока он разгуливает по двору голышом…)

Ну что ж, настало время построить выход на крышу и поговорить с соседом. Вы выбираете угол наклона, и начинаете строительство:

• вертикальное расстояние между выходом на крыше и полом всегда равно 1 (радиусу купола)
• котангенс(x) = cot(x) = расстояние между верхушкой купола и местом выхода
• косеканс(x) = csc(x) = длина вашего пути на крышу

Тангенс и секанс описывает стену, а КОтангенс и КОсеканс описывает перекрытие.

Наши интуитивные умозаключения в этот раз похожи на предыдущие:

• eсли вы возьмете угол, равный 0°, ваш выход на крышу будет длиться бесконечно, так как никогда не достигнет перекрытия. Проблемка.
• cамый короткий “трап” на крышу получится, если строить его под углом 90 градусов к полу. Котангенс будет равен 0 (мы вообще не передвигаемся вдоль крыши, выходим строго перпендикулярно), а косеканс равен 1 (“длина трапа” будет минимальной).

Визуализируйте связи

Если все три случая нарисовать в комбинации купол-стена-перекрытие, получится следующее:

Ну надо же, это всё один тот же треугольник, увеличенный в размере, чтобы достать до стены и до перекрытия. У нас есть вертикальные стороны (синус, тангенс), горизонтальные стороны (косинус, котангенс) и “гипотенузы” (секанс, косеканс). (По стрелкам вы можете видеть, докуда доходит каждый элемент. Косеканс - это полное расстояние от вас до крыши).

Немного волшебства. Все треугольники объединяют одни и те же равенства:

Из теоремы Пифагора (a 2 + b 2 = c 2) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника. Кроме того, соотношения типа “высота к ширине” должны быть также одинаковыми для всех треугольников. (Просто отступите от самого большого треугольника к меньшему. Да, размер изменился, но пропорции сторон останутся прежними).

Зная, какая сторона в каждом треугольнике равна 1 (радиусу купола), мы легко вычислим, что “sin/cos = tan/1”.

Я всегда пытался запомнить эти факты путем простой визуализации. На картинке ты четко видишь эти зависимости, и понимаешь, откуда они берутся. Этот прием гораздо лучше заучивания сухих формул.

Не стоит забывать о других углах

Тсс… Не нужно зацикливаться на одном графике, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если увеличить угол, можно дойти до потолка, не достигнув стены:

Связи Пифагора всегда работают, но относительные размеры могут быть разными.

(Вы, наверное, заметили, что соотношение синус и косинус всегда самые маленькие, потому что они заключены внутри купола).

Подытожим: что нам нужно запомнить?

Для большинства из нас, я бы сказал, что этого будет достаточно:

• тригонометрия поясняет анатомию математических объектов, таких как окружности и повторяющиеся интервалы
• аналогия купол/стена/крыша показывает связь между различными тригонометрическими функциями
• результатом тригонометрических функций являются проценты, которые мы применяем к нашему сценарию.

Вам не нужно запоминать формулы, типа 1 2 + cot 2 = csc 2 . Они годятся разве что для глупых тестов, в которых знание факта выдаётся за его понимание. Потратьте минутку, чтобы нарисовать полуокружность в виде купола, стену и крышу, подпишите элементы, и все формулы сами напросятся вам на бумагу.

Приложение: обратные функции

Любая тригонометрическая функция использует в качестве входного параметра угол и возвращает результат в виде процента. sin(30) = 0.5. Это означает, что угол в 30 градусов занимает 50% от максимальной высоты.

Обратная тригонометрическая функция записывается как sin -1 или arcsin (“арксинус”). Также часто пишут asin в различных языках программирования.

Если наша высота составляет 25% от высоты купола, каков наш угол?

В нашей табличке пропорций можно найти соотношение, где секанс делится на 1. Например, секанс на 1 (гипотенуза к горизонтали) будет равно 1 поделить на косинус:

Допустим, наш секанс равен 3.5, т.е. 350% от радиуса единичной окружности. Какому углу наклона к стене это значение соответствует?

Приложение: Несколько примеров

Скучная задачка. Давайте усложним банальное “найти синус” до “Какая высота в процентах от максимума (гипотенузы)?”.

Во-первых, заметьте, что треугольник повернут. В этом нет ничего страшного. Всё также у треугольника есть высота, она на рисунке указана зеленым.

А чему равна гипотенуза? По теореме Пифагора, мы знаем, что:

3 2 + 4 2 = гипотенуза 2 25 = гипотенуза 2 5 = гипотенуза

Хорошо! Синус - это процент высоты от самой длинной стороны треугольника, или гипотенузы. В нашем примере синус равен 3/5 или 0.60.

Конечно, мы можем пойти несколькими путями. Теперь мы знаем, что синус равен 0.60, и мы можем просто найти арксинус:

Asin(0.6)=36.9

А вот еще один подход. Заметьте, что треугольник стоит “лицом к лицу к стене”, так что вместо синуса мы можем использовать тангенс. Высота равна 3, расстояние стене - 4, так что тангенс равен ¾ или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы из процентного значения вернуться обратно в угол:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Пример: А доплывете ли вы до берега?

Вы в лодке, и у вас есть достаточно топлива, чтобы проплыть 2 км. Сейчас вы находитесь в 0.25 км от берега. Под каким максимальным углом к берегу вы можете доплыть до него так, чтобы хватило топлива? Дополнение к условию задачи: у нас в наличии есть только таблица значений арккосинусов.

Что мы имеем? Береговую линию можно представить как “стену” в нашем знаменитом треугольнике, а “длину лестницы”, приставленной к стене - максимально возможным преодолимым расстоянием на лодке к берегу (2 км). Вырисовывается секанс.

Сначала, нужно перейти на проценты. У нас есть 2 / 0.25 = 8, то есть мы можем проплыть расстояние, в 8 раз больше прямой дистанции до берега (или до стены).

Возникает вопрос “Чему равен секанс 8?”. Но мы не можем дать на него ответ, так как у нас есть только арккосинусы.

Мы используем наши ранее выведенные зависимости, чтобы привязать секанс к косинусу: “sec/1 = 1/cos”

Секанс 8 равен косинусу ⅛. Угол, косинус которого ⅛ равен acos(1/8) = 82.8. И это самый большой угол, который мы можем себе позволить на лодке с указанным количеством горючего.

Неплохо, правда? Без аналогии с куполом-стеной-потолком, я бы запутался в куче формул и вычислений. Визуализация задачи сильно упрощает поиск решения, к тому же, интересно увидеть, какая тригонометрическая функция в итоге поможет.

При решении каждой задачи думайте следующим образом: меня интересует купол (sin/cos), стена (tan/sec) или потолок (cot/csc)?

И тригонометрия станет куда приятнее. Легких вам вычислений!

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2