Оформление примеров на доказательство тригонометрических тождеств. Основные тригонометрические тождества: их формулировки и вывод
Примеры тождеств:
\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2x=\cos^2x\).
А вот выражение \(\frac{x^2}{x}=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).
Как доказывать тождество?
Рецепт до одури прост:
Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».
Например,
\(5=5\);
\(\sin^2x=\sin^2x\);
\(\cosx-4=\cosx-4\).
Для того, чтоб это сделать можно:
- Преобразовывать только правую или только левую часть.
- Преобразовывать обе части одновременно.
- Использовать любые допустимые математические преобразования (например, приводить подобные; раскрывать скобки; переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак; умножать или делить левую и правую часть на одно и то же число или выражение, не равное нулю и т.д.).
- Использовать любые математические формулы.
Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все нужно знать, помнить и уметь использовать.
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(\sin2x=2\sinx\cdot \cos{x}\)
Решение
:
Пример
. Доказать, что выражение \(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin{t}}\)
\(-\sin{t}=1\) является тождеством.
Решение
:
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos2t}{\cos^2t}\)
Решение
:
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos2t}{\cos^2t}\) |
Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем . |
|
\(1-tg^2 t=\) |
Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим в обратную сторону): \(\frac{a+c}{b}\) \(=\) \(\frac{a}{b}\) \(+\)\(\frac{c}{b}\) |
|
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2t}{\cos^2t}\) \(-\)\(\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\) |
Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим : \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\)\((\frac{a}{b})^n\) . |
|
\(1-tg^2 t=1-\)\((\frac{\sint}{\cost})^2\) |
Ну, а синус деленный на косинус равен того же угла: \(\frac{\sinx}{\cosx}\)
\(=tg x\) |
|
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\) |
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(=ctg(π+t)-1\)
Решение
:
\(\frac{\cos2t}{\sint\cdot\cost+\sin^2t}\) \(=ctg(π+t)-1\) |
Здесь будем преобразовывать обе части: |
|
\(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\sint\cdot\cost+\sin^2t}\) \(=ctg\:t-1\) |
Теперь работаем только с левой частью. |
|
\(\frac{(\cost-\sin{t})(\cost+\sin{t})}{\sint(\cost+\sin{t})}\) \(=ctg\:t-1\) |
Сократим дробь на \(\cos{t}+\sin{t}\). |
|
\(\frac{\cost-\sin{t}}{\sint}\) \(=ctg\:t-1\) |
Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби. |
|
\(\frac{\cost}{\sin{t}}-\frac{\sin{t}}{\sin{t}}\) \(=ctg\:t-1\) |
Первая дробь это , а вторая равна единице. |
|
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\) |
Левая часть равна правой, тождество доказано. |
Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.
Как доказать основное тригонометрическое тождество
Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.
Ответы на часто задаваемые вопросы:
Вопрос:
Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе?
Ответ:
Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части \(1-tg^2 t\) правую \(\frac{cos2t}{cos^2t}\)
(попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе \(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\cos^2t}\)
\(=\)\(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\cos^2t}\)
. Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.
Основные тригонометрические тождества.
secα читают: «секанс альфа». Это число, обратное косинусу альфа.
соsecα читают: «косеканс альфа». Это число, обратное синусу альфа.
Примеры. Упростить выражение:
а) 1 – sin 2 α; б) cos 2 α – 1; в) (1 – cosα)(1+cosα); г) sin 2 αcosα – cosα; д) sin 2 α+1+cos 2 α;
е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
а) 1 – sin 2 α = cos 2 α по формуле 1) ;
б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α также применили формулу 1) ;
в) (1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Вначале мы применили формулу разности квадратов двух выражений: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 , а затем формулу 1) ;
г) sin 2 αcosα – cosα. Вынесем общий множитель за скобки.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Вы, конечно, уже заметили, что так как 1 – sin 2 α = cos 2 α, то sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Точно так же, если 1 – cos 2 α = sin 2 α, то cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
д ) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
е ) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Имеем: квадрат выражения sin 2 α плюс удвоенное произведение sin 2 α на cos 2 α и плюс квадрат второго выражения cos 2 α. Применим формулу квадрата суммы двух выражений: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Далее применим формулу 1) . Получим: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Применили формулу 1) , а затем формулу 2) .
Запомните: tg α ∙ cos α = sin α.
Аналогично, используя формулу 3) можно получить: ctg α ∙ sin α = cos α. Запомнить!
з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Мы вначале вынесли общий множитель за скобки, а содержимое скобок упростили по формуле 7).
Преобразовать выражение:
Мы применили формулу 7) и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений:
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2). У нас а = 1, b = tg 2 α.
Упростить:
Страница 1 из 1 1
Класс: 10
“Математическая истина, независимо
от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же”
Б. Паскаль
Тип урока: Урок формирования умений и навыков.
Урок общеметодологической направленности.
Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.
Цели урока:
- дидактическая: научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.
- развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
- воспитательная: показать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи, продолжить формирование эстетических навыков при оформлении записей, навыков контроля и самоконтроля.
Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα, tgα, ctgα,соотношение sin 2 α+ cos 2 α =1 и т.д.
Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вы вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. (Презентация . Слайд 2 )
“Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.
Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. (Слайд 3)
(Слайд 4)
(Слайд 5)
Мы повторили формулы, теперь можем помочь двум друзьям, назовём их Пётр и Степан.
После преобразования некоторого очень сложного тригонометрического выражения А они получили следующие выражения: (Слайд 6)
(Слайд 7) Каждый отстаивал свой ответ. Как узнать кто из них прав? Обратились к Артёму, который дружит с Петром “Платон мне друг, но истина дороже”: сказал Артём и предложил несколько способов разрешения их спора. А какие вы можете предложить способы установить истину? Предлагают способы установления истины (Слайд 8):
1) Преобразовать, упростить А П и А с, т.е. привели к одному выражению
2) А П – А с = 0
Т. е. оба были правы. И их ответы равны при всех допустимых значениях α и β .
Как называются такие выражения? Тождествами. Какие тождества вы знаете?
То ждество , основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.
В математике тождество – это равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. (Слайд 9)
Тема урока: “Тригонометрические тождества”.
Цели: найти способы.
Двое работают у доски.
№ 2. Доказать тождество.
Тождество доказано.
№ 3. Доказать тождество:
1 способ:
2 способ:
Способы доказательства тождеств.
- правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
- Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
- Из правой части тождества вычитаем левую часть.
- Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.
Для чего необходимо уметь доказывать тригонометрические тождества? В ЕГЭ задание С1 тригонометрические уравнения!
Решается № 87 (п. 3)
Итак, подведем итоги урока. (Слайд 10)
Какова была тема урока?
Какие способы доказательства тождеств вам известны?
1. Преобразование левой части к правой или правой к левой.
2. Преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.
3. Составление разности левой и правой частей и доказательство равенства этой
разности нулю.
Какие формулы при этом используются?
1. Формулы сокращенного умножения.
2. 6 тригонометрических тождеств.
Рефлексия урока. (Слайд 11)
Продолжите фразы:
– сегодня на уроке я узнал …
– сегодня на уроке я научился…
– сегодня на уроке я повторил…
– сегодня на уроке я познакомился…
– сегодня на уроке мне понравилось…
Домашнее задание. Глава VIII; §6; № 78(четные); № 80(2; 4); № 87(2; 4). (Слайд 12)
Творческое задание: Подготовить презентацию о знаменитых тождествах математики. (Например тождество Эйлера.) (Слайд 13)
В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.
Навигация по странице.
Связь между синусом и косинусом одного угла
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве
вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства
и
следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.
То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.
Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть,
, а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть,
.
Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула
- для всех , отличных от , где z
- любое .
Связь между тангенсом и котангенсом
Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.
Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда
. Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и
, то
.
Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .