Какие логические элементы относятся к основным. Цифровые логические элементы и основы их работы
В цифровой схемотехнике цифровой сигнал - это сигнал, который может принимать два значения, рассматриваемые как логическая "1" и логический "0".
Логические схемы могут содержать до 100 миллионов входов и такие гигантские схемы существуют. Представьте себе, что булева функция (уравнение) такой схемы была потеряна. Как восстановить её с наименьшими потерями времени и без ошибок? Наиболее продуктивный способ - разбить схему на ярусы. При таком способе записывается выходная функция каждого элемента в предыдущем ярусе и подставляется на соответствующий вход на следующем ярусе. Этот способ анализа логических схем со всеми нюансами мы сегодня и рассмотрим.
Логические схемы реализуются на логических элементах: "НЕ", "И", "ИЛИ", "И-НЕ", "ИЛИ-НЕ", "Исключающее ИЛИ" и "Эквивалентность". Первые три логических элемента позволяют реализовать любую, сколь угодно сложную логическую функцию в булевом базисе . Мы будем решать задачи на логические схемы, реализованные именно в булевом базисе.
Для обозначения логических элементов используется несколько стандартов. Наиболее распространёнными являются американский (ANSI), европейский (DIN), международный (IEC) и российский (ГОСТ). На рисунке ниже приведены обозначения логических элементов в этих стандартах (для увеличения можно нажать на рисунок левой кнопкой мыши).
На этом уроке будем решать задачи на логические схемы, на которых логические элементы обозначены в стандарте ГОСТ.
Задачи на логические схемы бывают двух видов: задача синтеза логических схемы и задачи анализа логических схем. Мы начнём с задачи второго типа, так как в таком порядке удаётся быстрее научиться читать логические схемы.
Чаще всего в связи с построением логических схем рассматриваются функции алгебры логики:
- трёх переменных (будут рассмотрены в задачах анализа и в одной задаче синтеза);
- четырёх переменных (в задачах синтеза, то есть в двух последних параграфах).
Рассмотрим построение (синтез) логических схем
- в булевом базисе "И", "ИЛИ", "НЕ" (в предпоследнем параграфе);
- в также распространённых базисах "И-НЕ" и "ИЛИ-НЕ" (в последнем параграфе).
Задача анализа логических схем
Задача анализа заключается в определении функции f , реализуемой заданной логической схемой. При решении такой задачи удобно придерживаться следующей последовательности действий.
- Логическая схема разбивается на ярусы. Ярусам присваиваются последовательные номера.
- Выводы каждого логического элемента обозначаются названием искомой функции, снабжённым цифровым индексом, где первая цифра - номер яруса, а остальные цифры - порядковый номер элемента в ярусе.
- Для каждого элемента записывается аналитическое выражение, связывающее его выходную функцию с входными переменными. Выражение определяется логической функцией, реализуемой данным логическим элементом.
- Производится подстановка одних выходных функций через другие, пока не получится булева функция, выраженная через входные переменные.
Пример 1.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы, что уже показано на рисунке. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
x , y , z :
| x | y | z | f | ||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Пример 2. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Пример 3. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Продолжаем искать булеву функцию логической схемы вместе
Пример 4. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :
В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:
.
Таблица истинности для данной логической схемы:
| x | y | z | f | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Пример 5. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.
Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Структура данной логической схемы, в отличие от предыдущих примеров, имеет 5 ярусов, а не 4. Но одна входная переменная - самая нижняя - пробегает все ярусы и напрямую входит в логический элемент в первом ярусе. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:
Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :
В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:
.
Таблица истинности для данной логической схемы:
| x | y | z | f | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Задача синтеза логических схем в булевом базисе
Разработка логической схемы по её аналитическому описанию имеет название задачи синтеза логической схемы.
Каждой дизъюнкции (логической сумме) соответствует элемент "ИЛИ", число входов которого определяется количеством переменных в дизъюнкции. Каждой конъюнкции (логическому произведению) соответствует элемент "И", число входов которого определяется количеством переменных в конъюнкции. Каждому отрицанию (инверсии) соответствует элемент "НЕ".
Часто разработка логической схемы начинается с определения логической функции, которую должна реализовать логическая схемы. В этом случае дана только таблица истинности логической схемы. Мы разберём именно такой пример, то есть, решим задачу, полностью обратную рассмотренной выше задаче анализа логических схем.
Пример 6. Построить логическую схему, реализующую функцию с данной таблицей истинности.
Так же, как и стандартные Булевы выражения, информация на входах и выходах различных логических элементов или логических схем может быть собрана в единую таблицу – таблицу истинности.
Таблица истинности дает наглядное представление о системе логических функций. В таблице истинности отображаются сигналы на выходах логических элементов при всех возможных комбинациях сигналов на их входах.
В качестве примера, рассмотрим логическую схему с двумя входами и одним выходом. Входные сигналы отметим как «А» и «В», а выход «Q». Есть четыре (2²) возможных комбинаций входных сигналов, которые можно подать на эти два входа («ON — наличие сигнала» и «OFF — отсутствие сигнала»).
Однако, когда речь идет о логических выражениях и, особенно о таблице истинности логических элементов, вместо общего понятия «наличие сигнала» и «отсутствие сигнала» используют битные значения, которые представляют собой логический уровень «1» и логический уровень «0» соответственно.
Тогда четыре возможные комбинации «А» и «В» для 2-входного логического элемента можно представить в следующем виде:
Материал: АБС + металл + акриловые линзы. Светодиодная подсветка...
- «OFF» — «OFF» или (0, 0)
- «OFF» — «ON» или (0, 1)
- «ON» — «OFF» или (1, 0)
- «ON» — «ON» или (1, 1)
Следовательно, у логической схемы имеющей три входа будет восемь возможных комбинаций (2³) и так далее. Для обеспечения легкого понимания сути таблицы истинности, мы будем изучать ее только на простых логических элементах с числом входов не превышающим двух. Но, несмотря на это, принцип получения логических результатов для многовходных элементов схемы остается таким же.
Практически, таблица истинности состоит из одного столбца для каждой из входных переменных (например, А и В), и один последний столбец для всех возможных результатов логической операции (Q). Следовательно, каждая строка таблицы истинности содержит один из возможных вариантов входных переменных (например, A = 1, B = 0), и результат операции с этими значениям.
Таблица истинности
Элемент «И»
Для логического элемента «И» выход Q будет содержать лог.1, только если на оба входа («А» и «В») будет подан сигнал лог.1
Микросхемы, содержащие логический элемент «И»:
- К155ЛИ1, аналог SN7408N
- К155ЛИ5 с открытым коллектором, аналог SN74451N
- К555ЛИ1, аналог SN74LS08N
- К555ЛИ2 с открытым коллектором, аналог SN74LS09N
Элемент «ИЛИ»
Выход Q, элемента «ИЛИ», будет иметь лог.1, если на любой из двух входов или же на оба входа сразу подать лог.1
Микросхемы, содержащие логический элемент «ИЛИ»:
- К155ЛЛ1, аналог SN7432N
- К155ЛЛ2 с открытым коллектором, аналог SN75453N
- К555ЛЛ1, аналог SN74LS32N
Элемент «НЕ»
В данном случае выход Q, логического элемента «НЕ», будет иметь сигнал противоположный входному сигналу.
Микросхемы, содержащие логический элемент «НЕ»:
- К155ЛН1, аналог SN7404N
- К155ЛН2 с открытым коллектором, аналог SN7405N
- К155ЛН3, аналог SN7406N
- К155ЛН5 с открытым коллектором, аналог SN7416N
- К155ЛН6, аналог SN7466N
Элемент «И-НЕ»
На выходе Q элемента «И-НЕ» будет лог.1 если на обоих входах одновременно отсутствует сигнал лог.1
Микросхемы, содержащие логический элемент «И-НЕ»:
- К155ЛА3, аналог SN7400N
- К155ЛА8, аналог SN7401N
- К155ЛА9 с открытым коллектором, аналог SN7403N
- К155ЛА11 с открытым коллектором, аналог SN7426N
- К155ЛА12 с открытым коллектором, аналог SN7437N
- К155ЛА13 с открытым коллектором, аналог SN7438N
- К155ЛА18 с открытым коллектором, аналог SN75452N
Элемент «ИЛИ-НЕ»
Только если на оба входа логического элемента «ИЛИ-НЕ» подать лог.0 мы получим на его выходе Q сигнал соответствующий лог.1
В Булевой алгебре, на которой базируется вся цифровая техника, электронные элементы должны выполнять ряд определённых действий. Это так называемый логический базис. Вот три основных действия:
ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция ) - OR ;
И - логическое умножение (конъюнкция ) - AND ;
НЕ - логическое отрицание (инверсия ) - NOT .
Примем за основу позитивную логику, где высокий уровень будет "1", а низкий уровень примем за "0". Чтобы можно было более наглядно рассмотреть выполнение логических операций, существуют таблицы истинности для каждой логической функции. Сразу нетрудно понять, что выполнение логических функций «и» и «или» подразумевают количество входных сигналов не менее двух, но их может быть и больше.
Логический элемент И.
На рисунке представлена таблица истинности элемента "И " с двумя входами. Хорошо видно, что логическая единица появляется на выходе элемента только при наличии единицы на первом входе и на втором. В трёх остальных случаях на выходе будут нули.
| Вход X1 | Вход X2 | Выход Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
На принципиальных схемах логический элемент "И" обозначают так.
На зарубежных схемах обозначение элемента "И" имеет другое начертание. Его кратко называют AND .
Логический элемент ИЛИ.
Элемент "ИЛИ " с двумя входами работает несколько по-другому. Достаточно логической единицы на первом входе или на втором как на выходе будет логическая единица. Две единицы так же дадут единицу на выходе.
| Вход X1 | Вход X2 | Выход Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
На схемах элемент "ИЛИ" изображают так.
На зарубежных схемах его изображают чуть по-другому и называют элементом OR .
Логический элемент НЕ.
Элемент, выполняющий функцию инверсии «НЕ » имеет один вход и один выход. Он меняет уровень сигнала на противоположный. Низкий потенциал на входе даёт высокий потенциал на выходе и наоборот.
| Вход X | Выход Y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Вот таким образом его показывают на схемах.
В зарубежной документации элемент "НЕ" изображают следующим образом. Сокращённо называют его NOT .
Все эти элементы в интегральных микросхемах могут объединяться в различных сочетаниях. Это элементы: И-НЕ, ИЛИ-НЕ, и более сложные конфигурации. Пришло время поговорить и о них.
Логический элемент 2И-НЕ.
Рассмотрим несколько реальных логических элементов на примере серии транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ) К155 с малой степенью интеграции. На рисунке когда-то очень популярная микросхема К155ЛА3, которая содержит четыре независимых элемента 2И - НЕ . Кстати, с помощью её можно собрать простейший маячок на микросхеме .
Цифра всегда обозначает число входов логического элемента. В данном случае это двухвходовой элемент «И» выходной сигнал которого инвертируется. Инвертируется, это значит "0" превращается в "1", а "1" превращается в "0". Обратим внимание на кружочек на выходах - это символ инверсии . В той же серии существуют элементы 3И-НЕ, 4И-НЕ, что означает элементы «И» с различным числом входов (3, 4 и т.д.).
Как вы уже поняли, один элемент 2И-НЕ изображается вот так.
По сути это упрощённое изображение двух объёдинённых элементов: элемента 2И и элемента НЕ на выходе.
Зарубежное обозначение элемента И-НЕ (в данном случае 2И-НЕ). Называется NAND .
Таблица истинности для элемента 2И-НЕ.
| Вход X1 | Вход X2 | Выход Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
В таблице истинности элемента 2И - НЕ мы видим, что благодаря инвертору получается картина противоположная элементу «И». В отличие от трёх нулей и одной единицы мы имеем три единицы и ноль. Элемент «И - НЕ» часто называют элементом Шеффера.
Логический элемент 2ИЛИ-НЕ.
Логический элемент 2ИЛИ - НЕ представлен в серии К155 микросхемой 155ЛЕ1. Она содержит в одном корпусе четыре независимых элемента. Таблица истинности так же отличается от схемы "ИЛИ" применением инвертирования выходного сигнала.
Таблица истинности для логического элемента 2ИЛИ-НЕ.
| Вход X1 | Вход X2 | Выход Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Изображение на схеме.
На зарубежный лад изображается так. Называют как NOR .
Мы имеем только один высокий потенциал на выходе, обусловленный подачей на оба входа одновременно низкого потенциала. Здесь, как и на любых других принципиальных схемах, кружочек на выходе подразумевает инвертирование сигнала. Так как схемы И - НЕ и ИЛИ - НЕ встречаются очень часто, то для каждой функции имеется своё условное обозначение. Функция И - НЕ обозначается значком "& ", а функция ИЛИ - НЕ значком "1 ".
Для отдельного инвертора таблица истинности уже приведена выше. Можно добавить, что количество инверторов в одном корпусе может достигать шести.
Логический элемент "исключающее ИЛИ".
К числу базовых логических элементов принято относить элемент реализующий функцию «исключающее ИЛИ». Иначе эта функция называется «неравнозначность».
Высокий потенциал на выходе возникает только в том случае, если входные сигналы не равны. То есть на одном из входов должна быть единица, а на другом ноль. Если на выходе логического элемента имеется инвертор, то функция выполняется противоположная - «равнозначность». Высокий потенциал на выходе будет появляться при одинаковых сигналах на обоих входах.
Таблица истинности.
| Вход X1 | Вход X2 | Выход Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Эти логические элементы находят своё применение в сумматорах. «Исключающее ИЛИ» изображается на схемах знаком равенства перед единицей "=1 ".
На зарубежный манер "исключающее ИЛИ" называют XOR и на схемах рисуют вот так.
Кроме вышеперечисленных логических элементов, которые выполняют базовые логические функции очень часто, используются элементы, объединённые в различных сочетаниях. Вот, например, К555ЛР4. Она называется очень серьёзно 2-4И-2ИЛИ-НЕ.
Её таблица истинности не приводится, так как микросхема не является базовым логическим элементом. Такие микросхемы выполняют специальные функции и бывают намного сложнее, чем приведённый пример. Так же в логический базис входят и простые элементы "И" и "ИЛИ". Но они используются гораздо реже. Может возникнуть вопрос, почему эта логика называется транзисторно-транзисторной.
Если посмотреть в справочной литературе схему, допустим, элемента 2И - НЕ из микросхемы К155ЛА3, то там можно увидеть несколько транзисторов и резисторов. На самом деле ни резисторов, ни диодов в этих микросхемах нет. На кристалл кремния через трафарет напыляются только транзисторы, а функции резисторов и диодов выполняют эмиттерные переходы транзисторов. Кроме того в ТТЛ логике широко используются многоэмиттерные транзисторы. Например, на входе элемента 4И стоит четырёхэмиттерный
Логические элементы это элементарные цифровые устройства, используемые для обработки информации в цифровой последовательности сигналов высокого - «1» и низкого - «0» уровней, выполняющие логические операции И, ИЛИ, НЕ и различные комбинации этих операций
Первым и самым простым логическим элементом является инвертор, выполняющий логическую операцию НЕ - инверсию или логическое отрицание. На вход подается один сигнал, на выходе противоположный. На вход подается - "0", на выходе - "1" или на вход поступает "1", а на выходе "0".
Так как вход у элемента НЕ только один, то его таблица истинности состоит всего из двух строк.
В роли инвертора можно применять обычный транзисторный усилитель включенный по схеме с общим эмиттером или истоком. Пример такого подключения на биполярном n-p-n транзисторе, показан на рисунке ниже.
В зависимости от схемотехнического исполнения инвертор может обладать различным временем передачи сигнала и может работать на различную нагрузку. Он может быть собран на одном или на нескольких транзисторах, но независимо от схемы все инверторы осуществляют одну и ту же функцию. Поэтому, чтобы особенности включения транзисторов не затеняли выполняемую функцию, используются специальные обозначения для цифровых микросхем. Условно-графическое обозначение инвертора приведено на рисунке.
Инверторы имеются во всех сериях цифровых микросхем. В отечественных микросборках инверторы обозначаются буквами ЛН. Например, 1533ЛН1 содержится целых шесть инверторов. Зарубежные микросборки используют цифровое обозначение, например 74ALS04
Реализует операцию "И" - логическое умножение. В самом простом варианте на его вход подается два сигнала, на выходе получаем один сигнал. Если подается два нуля на выходе - ноль, две единицы - на выходе единица. Если на один вход поступает "1", а на другой ноль, то на выходе "0". Смотри рисунок с таблицей истинности для элемента И и его условно графическое изображение
Проще всего разобраться в работе логического элемента "И", при помощи упрощенной схемы, собранной на идеальных ключах с электронным управлением. В ней ток будет идти только тогда, когда оба ключа замкнуты, и поэтому, единичный сигнал на выходе будет только при обоих логических единицах на входе.
Третий основной логический элемент - это дизюнктор, выполняющий операцию ИЛИ - логическое сложение. Графическое изображение дизъюнктора показано в видеозаставке, чуть ниже.
Для наглядности представления представим Дизъюнктор "ИЛИ" в виде ключей. Но на этот раз соединим их параллельно. Как видно из рисунка ниже, уровень логической единицы установится на выходе, как только замкнется любой из ключей, подробней смотри в таблице истинности.
Рассмотрим реальный логический элементо на примере микросхемы транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ) серии К155 с низкой степенью интеграции. На рисунке ниже, устаревшая, но все еще популярная микросборка К155ЛА3, содержащая четыре элемента 2И – НЕ. Кстати, с помощью ее можно собрать кучу .
По сути это уже знакомое нам изображение двух объединённых частей: элемента "2И" и "НЕ" на выходе. Таблица истинности для 2И-НЕ представлена ниже:
В результате на входе мы видим, что благодаря инвертору получается картина противоположная элементу «И». В отличие от трёх "0" и одной "1" мы видим три "1" и всего один ноль. Компонент цифровой логики «И – НЕ» часто называют элементом Шеффера.
Логический элемент 2ИЛИ – НЕ (а точнее целых четыре) имеется в микросборке К155ЛЕ1. Таблица истинности так же отличается от компонента "ИЛИ" инвертированием выходного сигнала.
На практике используются также двухвходовые элементы «исключающее ИЛИ. На рисунке ниже показано условное графическое обозначение элемента без инверсии и его таблица состояний. Главная функция данного компонента сводится к следующему, сигнал на выходе появится только тогда, если логические уровни на входах разные.
Рассмотрим практический пример «Исключающего ИЛИ» в схеме выделения фронта и среза импульса. В этой конструкции три компонента «Исключающий ИЛИ» применяются для задержки импульсов. DD1.4 - суммирующий. Выходные импульсы обладают стабильными фронтами и срезами. Длительность каждого выходного импульса равна утроенному времени задержки переключения каждого из 3-х компонентов. Временной интервал между фронтами выходных импульсов приблизительно равен длительности входного импульса. Кроме того, схема удваивает частоту входного сигнала.
Есть еще одно интересная функция «Исключающего ИЛИ». Если на один из входов подать постоянный «0», то сигнал на выходе компонента повторит входной сигнал, а если постоянный «0» поменять на постоянную «1», то выходной сигнал уже будет представлен инверсией входного.
Вот, реальный пример, отечественная микросборка К555ЛР4. Ее можно представить как 2-4И-2ИЛИ-НЕ:
Ее таблицу истинности не рассматриваем, так как цифровая микросборка не является базовым логическим элементом. Такие микросхемы часто выполняют специальные функции и бывают куда сложнее, чем рассмотренный пример.
Логический элемент «И-НЕ»
Если соединить последовательно элементы «И» и «НЕ» согласно схеме на рис. 2.11, то выход Xлогического элемента «И» инвертируется согласно таблице истинности (рис 2.12). В колонке Xприведен выходной сигнал элемента «И» равен 1 только если А = 1 и В = 1 (вариант 4). В свою очередь X является входом для инвертора. Если на входе X элемента НЕ логическая 1, то выход Z = 0. Если на входе X элемента НЕ логический 0, то выход Z = 1.
В колонке Z приведен инвертированный выход X элемента И.
В англоязычной литературе такой комбинированный элемент обозначается как NAND (сокр. от NOT + AND).
Вентили «И-НЕ» используются очень часто. Для них придумали собственное условное обозначение (рис. 2.13). Оно получается из символа вентиля «И» с кружком на выходе. Этот кружок означает инвертирование выхода. Для логического элемента «И-НЕ» действительно следующее утверждение:
На выходе логического элемента «И-НЕ» логическая 1 будет только в том случае, если не на всех входах наступает состояние 1.
Рис. 2.13. Условные обозначения «И-НЕ»-элементов с двумя входами
Логическая функция элемента «И-НЕ» отвечает выражению:
Длинная черта над А а В указывает, что инвертируется все выражение.
Таблица истинности элемента «И-НЕ» приведена на рис. 2.14.
Логический элемент ИЛИ-НЕ
Таблица истинности соединенных последовательно элементов ИЛИ и НЕ согласно схеме на рис. 2.15 приведена на рис 2.16. Сначала входные сигналы А и В поступают на вентиль ИЛИ:
X является одновременно входом элемента НЕ. Все состояния X инвертированы в столбце Z (из X = 0 будет Z = 1, из X = 1 будет Z— 0).
Выход Z является выходом элемента ИЛИ-HE. В англоязычной литературе такой комбинированный элемент обозначается как NOR (сокр. от NOT + OR).
Логические элементы ИЛИ-HE используются так же часто, как и элементы И-НЕ. Для них так же создано собственное условное обозначение (рис. 2.17). Оно получается из символа вентиля ИЛИ с кружком на выходе. Этот кружок означает инвертирование выхода.
Для логического элемента ИЛИ-HE действительно следующее утверждение:
На выходе логического элемента ИЛИ-HE логическая 1 будет только в том случае, если ни на одном из входов нет состояния 1.
Логическая функция элемента ИЛИ-HE отвечает выражению:
Рис. 2.17. Условные обозначения ИЛИ-НЕ-элементов с двумя входами
Логический элемент эквивалентности
Часто возникает необходимость в схемах, в которых на выходе всегда логическая 1, когда на оба входа поданы одинаковые логические сигналы — либо оба 0, либо оба 1. Такая схема называется логическим элементом эквивалентности (эквивалентность — равноценность). Она строится из основных логических элементов соответственно (рис. 2.18).
Разберем подробно таблицу истинности эквивалентного элемента. Сначала для четырех возможных комбинаций записываются логические состояния входов А и В (рис. 2.19, столбцы и). Затем они инвертируются элементом НЕ, превращаясь в А и В. Если /1 = 0, то соответственно А = 1. Если, как в случае 4, А = 1, то соответственно А = 0. Такое же правило действует и для В и В. Так получают содержимое столбцов ® и на рис. 2.19. Состояние выхода Q получается из операции логического умножения А и В. В случае 1 А = 0, В = 0, следовательно, Q должен быть также равен 0 (столбец). В случаях 2 и 3 Q равен также 0, так как оба входа не являются логической 1. Только в случае 4, где А=1тВ=1, Q также равен 1.
Символом S в колонке 6 обозначается результат логического
умножения А и В. А и В являются входами логического элемента ИЛИ с выходом S (рис.
2.18). В первом случае А = 1 и В = 1. Следовательно, для первого случая S = 1.
В случаях 2 и 3 таблицы истинности S = 0, так как только один из входов имеет
состояние 1. В случае 4 оба входа равны 0 и соответственно S = 0.
S и Q являются выходами обоих элементов И и одновременно входами элемента ИЛИ. Логический элемент ИЛИ производит операцию логического сложения состояний и Q. В случае 1 Q = 0 и 1. Следовательно, на выходе Z(столбец) также 1. В случаях 2 и 3 оба входа 0, и таким образом, на выходе также 0. В случае 4 Q = 1 и 5 = 0, что при операции сложения дает результат 1.
Для элементов эквивалентности также создано собственное условное обозначение. Условное обозначение и таблица истинности приведены на рис. 2.20.
На выходе элемента эквивалентности состояние 1 будет только тогда, когда входы имеют равное состояние.
Логическая функция элемента эквивалентности отвечает выражению:
Так как в нашем примере Q = А д В и
S = А л В, можно также записать Z— Qv S. Элемент эквивалентности можно построить и из других основных логических элементов (см. задания в конце гл. 2).
Логический элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (XOR)
Если выход элемента эквивалентности инвертируется посредством последовательного подключения элемента НЕ, то возникает элемент, который на выходе всегда имеет 1, если его входы различны (рис. 2.21).
Такой элемент называется элементом ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Речь идет при этом об элементе ИЛИ, в котором исключен случай, когда на выходе находится 1, если оба входа имеют 1 (случай 4). В англоязычной литературе такой элемент обозначается как XOR (сокр. от EXCLUSIVE + OR).
Логические элементы ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ используются достаточно часто. Условное обозначение и таблица истинности приведены на рис. 2.22.
На выходе элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ состояние 1 будет только тогда, когда оба входа имеют различное состояние.
Логическая функция элемента эквивалентности может быть получена из схемы на рис. 2.21:
X = (AaB)v(AaB).
Тогда логическую функцию элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ можно представить как инверсию логической функции элемента эквивалентности:
Z = (А л В) v (А а е)
Это выражение можно преобразовать с помощью правил алгебры логики:
Z = (Л А Б) V (Д А В)
Правила преобразования подробно рассматриваются в гл. 4.
Рис. 2.22. Условное обозначение XOR-элемента и его таблица истинности
Комбинации элементов с двумя входами
После рассмотрения элементов И, ИЛИ, НЕ, ИЛИ-HE, И-НЕ, ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ и ИСКЛЮЧАЮЩЕГО ИЛИ посмотрим варианты дальнейших возможных комбинаций и соответствующие им элементы. Существует еще много вариантов соединения, но они не имеют большого практического значения.
Для элементов с двумя входами (например А и В) возможны 4 различных варианта (комбинаций) входов, как мы видели в рассмотренных до сих пор таблицах истинности (см. рис. 2.22). Для этих 4 вариантов возможны 4 возможных варианта на выходе, например выход Zна рис. 2.23. В каждом из серых квадратиков может быть выходное состояние 0 или 1.
Рис. 2.23. Таблица истинности для элементов с двумя входами. Серые квадраты для возможных состояний выходов.
Можно составить 16 различных комбинаций выходных состояний. Они обозначены на рис. 2.24 от Zy до Z16. Из рисунка сразу становится ясно, что некоторые из возможных комбинаций не имеют особого значения. Для «константы 0» и «константы 1» не нужно вводить никаких элементов. «Константа 0» означает, что выход всегда равен 0, абсолютно независимо от того, какие состояния на входах. При «константе 1» на выходе всегда 1, также независимо от состояния на входах.
Рис. 2.24. Общая таблица для 16 возможных состояний выходов элементов с двумя входам
«Инверсия А» и «инверсия В» соответственно реализуются логическим элементом НЕ. Для «тождественно А» и «тождественно В» можно использовать не инвертирующий усилитель (рис. 2.25).
На выходе не инвертирующего усилителя только тогда логическая 1, когда на вход подана логическая 1.
Усилители такого рода предназначены для усиления слабых сигналов.
Запрещение является особой разновидностью элемента И. Состояние входа инвертируется перед элементом И. Если инвертируется вход А, то элемент называется схема запрета А (рис. 2.26). Если инвертируется вход В, то элемент называется схема запрета В (рис. 2.27).
Импликация является особой разновидностью элемента ИЛИ. Состояние входа инвертируется перед элементом ИЛИ. Если инвертируется вход А, то элемент называется импликатор А (рис. 2.28). Если инвертируется вход В, то элемент называется импликатор В (рис. 2.29).
Логические элементы запрещения и импликации имеют ограниченное практическое значение и почти не производятся. В случае необходимости их можно собрать из основных логических элементов.
Логические элементы с тремя и более входами
Если необходимы три входа или больше, то можно включить последовательно несколько двухвходовых элементов (рис. 2.30).
Каждый элемент с двумя входами имеет, как известно, 4 возможных комбинаций входов-выходов. Для входов А и В имеет силу обыкновенная таблица истинности. Если добавляется еще один вход, например С, то он может быть либо 0, либо 1.
Прежние 4 комбинации от А и В комбинируются один раз с С = 0 и второй раз с С = 1 (рис. 2.31). Таким образом получаются 8 комбинаций. Если теперь к трем входам, например А, В, С добавляют четвертый вход, например D (рис. 2.32), то прежние 8 комбинаций от А, В и С комбинируются один раз с D = 0 и второй раз с D = 1 (рис. 2.33). Член с 4 входами имеет, таким образом, 16 возможных комбинаций (рис. 2.33).
С добавлением каждого нового входа число комбинаций (вариантов вход-выход) таблицы истинности удваивается.
При двух входах — 4 комбинации, при трех входах — 8 комбинаций, при четырех входах — 16 комбинаций и при пяти входах получаются 32 комбинации. При формировании таблиц истинности последовательность комбинаций выбирается произвольно. Нужно учитывать все варианты и не допускать повторов. Чтобы проще было составлять таблицы истинности, предлагаем следующую схему.
Первый вход (например АI) меняет состояние каждый раз. Второй вход (например В) меняет состояние через раз. Третий вход (например С) меняет состояние через 4 варианта. Если продолжать по этой схеме, четвертый вход (например D) меняет состояние соответственно после 8 комбинаций, и так далее. Эта схема оправдала себя на практике. Указанные в данной книге таблицы истинности составлены согласно этой схеме.
Выпускаемые в настоящее время вентили И и ИЛИ имеют в основном от 2 до 4 входов. То же самое относится к вентилям И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Изредка встречаются вентили с 8 и более входами.
Контрольный тест
1. Изобразите условное обозначение для вентилей И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ и ИЛИ-HE. Все элементы, включая НЕ, должны иметь два входа.
2. Постройте таблицу истинности вентиля ИЛИ с тремя входами. Входы имеют обозначения А, В, С. Выход имеет обозначение Z
3. Предложите вариант построения вентиля И-НЕ из основных логических элементов.
4. Изобразите таблицу истинности элемента НЕ с входом А и выходом Y.
5. Для элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ верно уравнение
Z = (AaB)v(A*B).
Синтезируйте его из логических элементов И, ИЛИ и НЕ и нарисуйте схему.
6. Опишите словами функции логических элементов И и ИЛИ.
7. Сколько возможных комбинаций имеет таблица истинности элемента ИЛИ с шестью входами?
8. Что понимают под логическим элементом ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ? Изобразите для этого элемента таблицу истинности.
9. Как называется логический элемент, которому соответствует таблица истинности, изображенная на рис. 2.34?
10. Какую функцию выполняет элемент ЗАПРЕЩЕНИЕ? Как его можно построить из основных логических элементов? Нарисуйте возможную схему.
11. Временные диаграммы входов А и В представлены на рис. 2.35 Изобразите временную диаграмму выхода Z, если А и В входы
а) вентиля И,
б)вентиля ИЛИ.
Рис. 2.35.
12.Какую логическую операцию производят элементы на схеме рис. 2.36?
Рис. 2.36. Комбинация логических элементов.
13. Изобразите таблицу истинности элемента НЕ с пятью входами. Входы обозначить как Ev Ev Ev Е4 и Еу Выход обозначить как X.
14. На рис. 2.37 представлены входные сигналы А и В и выходной сигнал Z неизвестного элемента. Какую логическую операцию производит этот член?
Рис. 2.37. Временные диаграммы входов и выхода
